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带电粒子在电磁场中的运动是每年高考中的热点问题,考查内容或电场对带电粒子的加速(减速),或磁场对带电粒子的偏转(回旋),或两者结合考查综合能力。
1. 回旋加速器解读
例1. 正电子发射计算机断层(PET)是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术,它为临床诊断和治疗提供全新的手段。
(1)PET在心脏疾病诊疗中,需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂,氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的,反应中同时还产生另一个粒子,试写出该核反应方程。
(2)PET所用回旋加速器示意如图1,其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R,两盒间距为d,在左侧D形盒圆心处放有粒子源S,匀强磁场的磁感应强度为B,方向如图所示。质子质量为m,电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计,质子在加速器中运动的总时间为t(其中已略去了质子在加速电场中的运动时间),质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同,加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。
图1
(3)试推证当
时,质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(质子在电场中运动时,不考虑磁场的影响)。
解析:
(1)核反应方程为:
①
(2)设质子加速后最大速度为v,由牛顿第二定律得:
②
质子的回旋周期为:
③
高频电源的频率为:
④
质子加速后的最大动能为:
⑤
设质子在电场中加速的次数为n,则:
⑥
又
⑦
可解得:
⑧
(3)在电场中加速的总时间为:
⑨
在D形盒中回旋的总时间为
⑩
故
,即当
时,
可以忽略不计。
交变电场的周期等于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期,经交变电场每半周粒子被加速一次。
2. 匀强电场匀变速;匀强磁场回旋(偏转)
例2. 在如图2所示的空间区域里,y轴左方有一匀强电场,场强方向跟y轴正方向成60°,大小为
;y轴右方有一垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度
。有一质子以速度
,由x轴上的A点(10cm,0)沿与x轴正方向成30°斜向上射入磁场,在磁场中运动一段时间后射入电场,后又回到磁场,经磁场作用后又射入电场。已知质子质量近似为
,电荷
,质子重力不计。求:(计算结果保留3位有效数字)
(1)质子在磁场中做圆周运动的半径。
(2)质子从开始运动到第二次到达y轴所经历的时间。
(3)质子第三次到达y轴的位置坐标。
图2
解析:(1)质子在磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律,
得质子做匀速圆周运动的半径为:
(2)由于质子的初速度方向与x轴正方向夹角为30°,且半径恰好等于OA,因此,质子将在磁场中做半个圆周到达y轴上的C点,如答图3所示。
图3
根据圆周运动的规律,质子做圆周运动周期为
质子从出发运动到第一次到达y轴的时间
为
质子进入电场时的速度方向与电场的方向相同,在电场中先做匀减速直线运动,速度减为零后反向做匀加速直线运动,设质子在电场中运动的时间
,根据牛顿第二定律:
,得
因此,质子从开始运动到第二次到达y轴的时间t为
。
(3)质子再次进入磁场时,速度的方向与电场的方向相同,在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,到达y轴的D点。
根据几何关系,可以得出C点到D点的距离为
;
则质子第三次到达y轴的位置为
即质子第三次到达y轴的坐标为(0,34.6cm)。
由以上几例看到,带电粒子的复杂运动常常是由一些基本运动组合而成的。掌握基本运动的特点是解决这类问题的关键所在。另外我们也要注意近年高考对回旋加速模型考法的一些变化,如环行电场,变化磁场等组合,但不管怎样处理的基本方法不变。
模型要点
①带电粒子在两D形盒中回旋周期等于两盒狭缝之间高频电场的变化周期,与带电粒子的速度无关;
②将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速为0的匀加速直线运动;
③带电粒子每经电场加速一次,回旋半径就增大一次,所有经过半径之比为1:
:
……(这可由学生自己证明),对于同一回旋加速器,其粒子回旋的最大半径是相同的,解题时务必引起注意。
电场加速(减速),磁场回旋。磁场回旋时在洛伦兹力作用下做圆周运动有
;电场加速从能角度电场力做功
,动能:
;从力角度若匀强电场还可以用牛顿定律解决。
模型演练
1. 如图4所示,在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场,方向垂直纸面向里,圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d,两板与电动势为U的电源连接,一带电量为
、质量为m的带电粒子(重力忽略不计),开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点,经电场加速后从C点进入磁场,并以最短的时间从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失,且碰撞后以原速率返回。求:
(1)筒内磁场的磁感应强度大小;
(2)带电粒子从A点出发至重新回到A点射出所经历的时间。
图4
答案:(1)带电粒子从C孔进入,与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短。
由
粒子由C孔进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动的速率为
由
即
,
得
(2)粒子从A→C的加速度为
由
,粒子从A→C的时间为:
粒子在磁场中运动的时间为
将(1)求得的B值代入,得
,
求得:
。
2. 如图5甲所示,一对平行放置的金属板M、N的中心各有一小孔P、Q、PQ连线垂直金属板;N板右侧的圆A内分布有方向垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,圆半径为r,且圆心O在PQ的延长线上。现使置于P处的粒子源连续不断地沿PQ方向放出质量为m、电量为+q的带电粒子(带电粒子的重力和初速度忽略不计,粒子间的相互作用力忽略不计),从某一时刻开始,在板M、N间加上如图5乙所示的交变电压,周期为T,电压大小为U。如果只有在每一个周期的0�T/4时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出,求:
甲 乙
图5
(1)在每一个周期内哪段时间放出的带电粒子到达Q孔的速度最大?
(2)该圆形磁场的哪些地方有带电粒子射出,在图中标出有带电粒子射出的区域。
答案:(1)在每一个周期
内放出的带电粒子到达Q孔的速度最大。设最大速度为v,则据动能定理得
。
(2)因为
解得带电粒子在磁场中的最小偏转角为
。所以图6中斜线部分有带电粒子射出。
图6
来源:https://www.toutiao.com/article/7002188********2644
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