MRI—从产生信号到生成图像（二)

丁忠运

Previous：嘭噗啪嚓吧：MRI—从产生信号到生成图像（一）
之前聊到生成FID信号，这里继续写继它之后的一些事情。
FID信号是一个频率固定的自由衰减信号，它的通用数学表达式可以写成如下：
                                                      f(t) = A(t)sin(w0t)

图-1 FID 时域-频域 转换图其中，A(t)是一个和时间t相关的指数衰减信号，f(t)函数的频率固定在w0，时域信号如图-1左所示。由于它是固定频率的衰减信号，那么它在频域中也只会有一个波峰，即如图-1右所示。这样的一个单波峰图像蕴含了一张二维MRI扫描部位的所有信息，难以将其通过一些数学办法来还原成图像，所以需要两个辅助技术：频率编码和相位编码。
这里先来说说切片。切片的实现是基于主磁场方向的梯度磁场，习惯上把这个方向叫做Z方向。
根据拉莫尔频率公式可知，质子的进动频率仅仅和当前磁场强度相关，因此，如果在主磁场方向上，再加上一个梯度磁场后，磁场强度在不同的地方就会产生进动频率不同的H质子，再用不同频率的RF脉冲激发，就能得到不同的共振频率。

图-2 MRI切片如图-2，在B0的主磁场基础上，加上一个Gz的梯度磁场，那么在Z方向上，不同部位的H质子就会产生不同的拉莫尔频率。我们只需要选定特定的RF脉冲带宽 \Deltaw，就能得到特定厚度为 \Delta Z的2D横截面切片。
在成像时间可以无限长的前提下，人们总是希望RF脉冲的带宽越小越好，这样切片就可以最大限度的薄，成像结果也可以体现更多的细节：

图-3 切片厚度的脑部MRI对比图一般来说，收集线圈得到的FID信号都是经过切片后的组织产生的，否则信号本身会十分的模糊，很难用于医学临床检验。
采用MRI 切片技术就能到不同切面层的二维图像信号的一维序列表示，也就是FID（自由衰减信号），而如何将如图-3的脑部MRI切面从采集的FID信号中还原，就是下面的重点。
图-3 中的脑部MRI可以看成是一个二维的灰度值矩阵， 记作h，水平方向记为x，竖直方向为y，那么矩阵可表示成 h(x,y)，它是我们最终要求的东西。在主磁场+Z方向上的梯度磁场激发下，该切面h(x,y)的进动频率记作f0，那么理论证明，该切面产生的二维时域FID信号可以表示为：

该数学公式可以理解为该切面上所有点以f0为频率进动产生的信号的积分。如果是离散情况，就是离散点的和。
现在s(t)是采集线圈可以收到的，也就是说公式左边是已知的，而右边是一个二重积分。我们如果想通过该等式求解h(x,y)必须解一个高维微分方程，这显然是不可能的，所以这里又再次引入了傅里叶变换。
在之前的假设中，h(x,y)是一个二维的灰度值图像，那么该图像的频域表达式可以写为：

这是一个标准的二维傅里叶变换。
可假使能求出H(u,v), 是不是就能通过傅里叶反变换得到h(x,y)呢？答案是肯定的。
所以现在的问题从 FID -> MR image, 也就是s(t) -> h(x,y)，变成了：
s(t) -> H(x,y) -> h(x,y)
于是，为了求解H(x,y)，人们引出了x和y方向上的梯度场，以此来标明连续空间中，不同位置的点在位置特定的场强（B0 + zGz和该点的Gx和Gy的矢量和）下对FID信号做出的贡献。
现在在x和y方向上，加上Gx和Gy强度的梯度场，则切片Z的点(x,y)处的磁场强度f0为
(xGx, yGy, B0 + zGz)
那么f0就变成了一个x和y相关的函数，则s(t)从:

变成了：

其中tx和ty分别表示x和y方向上梯度磁场开启的时间。
（其实最开始我很不解为什么这里需要加上x和y方向梯度场的时间，难道不是单纯地替换掉f0就ojbk了吗。但仔细一想，最初的时间t是指在不加x和y方向上梯度场的前提下，主磁场+z方向梯度场的共同作用时间。既然在不同方向上加上了新的梯度场，那么他们的时间是肯定不和主磁场+z方向梯度场作用时间相同的。而且从能量守恒的角度想，外加磁场的时间越长，信号获得的能量理应越多，那么FID信号的幅值也就应该越大才对。）
然后我就被自己编的理由说服了。
言归正传，对比上式，不难发现它的积分项和h(x,y)的二维傅里叶变换长得是八九不离十，于是我们可以将该积分项用h(x,y)的傅里叶变换式代替，于是就得到了：

其中有：
u = rG_x t_x,   v = rG_y t_y
也就是说，H(u,v)可以看作是s(t)信号经过解调制之后的信号幅值。
那么只需要将采集到的s(t)信号经过解调，就可以得到H(u,v)，然后经过傅里叶反变换，就可以得到原始信号了。
由有限个H(u,v)填满的矩阵，有一个大名鼎鼎的名字，就叫做K-space。而为了填满K-space，不断的改变梯度场时间t， 和梯度场大小的操作， 就叫做频率编码和相位编码。

图-4 梯度场大小和时间与k-space中点的对应关系频率编码
前面我们说过了kspace坐标和梯度场以及时间的关系，反应到实际就是图-4所表示的。当不存在外加的梯度场信号时，从FID信号中能得到的就是K-space原点中心的图，而当x方向上或者y方向存在梯度场和时间，就会出现正向或者反向的平移。
习惯上我们会先沿着x轴方向采集信号，其中采集信号的方式是采用脉冲时间序列，如图-5 间隔均匀地采样：

图-5 x方向上的等间隔采样有一个概念这里要提上一提，即“slice refocusing gradient"。它的作用是当RF脉冲序列的频宽过大，与之发生共振的组织也会更多，共振频带过大，这导致切片出来的信号会出现小幅度的相位差，从而使得采集图像模糊。因此这里会加上一个slice refocusing gradient，使得RF频带中的组织都在一个比较小范围差的频率下发生共振。
在这里Gx的大小没有被改变，则每次采样中，同一个x位置下的组织产生的是相同的共振频率。
重要的事情再说一遍：每次采样中，同一个x位置下的组织产生的是相同的共振频率。这也就是说，Kspace中，垂直于x轴线的每一条采样轨迹(trajectory), 都具有相同频率分布。换句话说，在kspace这一二维坐标系下，同一个横轴坐标表示具有同一个频率。这种采样方法形成的轨迹被叫做笛卡尔采样轨迹(Cartisan Trajectory)。
而这种在x轴方向上固定梯度磁场大小，只改变磁场时间的采样方式，就叫做频率编码。
为了能够既采样负x轴方向，又采集x的正轴方向，人们选择先从x轴的负方向出发一直到最左端，然后再掉头往x的正方向去。因此需要先加上一个负梯度，然后才是正梯度。这样的采样方式如图-6所示：

图-6 先负梯度再正梯度

图-7 先负向，再正向的采样轨迹这样就会形成如图-7所示的轨迹。在这样的梯度场作用下，就会形成如图-6所示的FID回波信号。由于回波信号是变换的梯度场导致的，它被称为梯度回波信号(Gradient Echo, GE)。
梯度回波信号形成的主要原因是在形成共振前（图-6 ②点处）以及共振形成后（图-6的+Gx中心处）的两次信号衰减。第一次衰减的出现是因为90度RF脉冲的撤销，在该方向上出现了dephase，同时在x方向上由于-Gx的梯度场作用，在RF方向上衰减的信号同时在-x方向出现进动，衰减快的信号进动就更快，衰减慢的信号则更慢。第二次的信号衰减则是在梯度回波的峰值过后，之前在-x方向进动更快的信号相较于慢的信号跑得更快，但由于接收到了+x方向的梯度磁场，二者都掉转头朝向+x方向进动，进动更快的物质经历了追赶更慢的物质，追平，最后超越的三个阶段，由此出现了echo。

相位编码
相对应的，在y轴上实行相位编码。
这里要首先纠正一下，不是说只要在x轴上做采样就叫频率编码，在y轴上做采样就就叫相位编码，而是习惯上我们会在x轴做基于采样间隔变换的采样，在y轴上做梯度变换采样，而y轴上的这种梯度变换就会造成相位的编码。
你也可以反过来做，那么x轴就是相位编码，y轴就是频率编码。
现在是时候来看看y轴的梯度变换是怎么回事：

图-8 固定Gx和tx，不断改变Gy如果固定x轴的梯度Gx和磁场时间tx，即使得信号只沿着K-space的y轴发生平移，然后不停的改变Gy的大小，这造成了y方向上的每一个组织点都有不同的磁场大小，由此会导致不同的拉莫尔频率，而不同的拉莫尔频率又会导致组织点们out of phase, 具体的表现如图-9所示：

图-9（a)(b)(c) out of phase在图-8中，点①处所有的组织处于同样的w0进动频率下，但是在不同的Gy作用下，即使是处于同一个y坐标下的组织点，都会产生不一样的角速度，如图-9中间所示。然后在图-8的点，关闭y方向磁场，此时所有的组织点又开始以w0开始进动起来。与①点处不同的是，他们的相位不在相同。
这种在采样前改变梯度磁场的方式，我们叫做相位编码。
由于不同的相位会导致信号内部的相互抵消，所以我们一般都是沿着频率编码的方向采样，同时给予每条频率编码的轨迹不同的相位，使得其最终填满整个K-space。

图-10 被填满的K-space(左); Kpsace灰度图(中);最终的二维切片图(右）参考文献：
1. QUESTIONS AND ANSWERS IN MRI, Advanced Techniques
2. MRI fundamental, coursera online course from KAIST.
希望自己还能写一些MRI前瞻知识的随笔，如果还写得动的话XD.