解密回旋加速器：八种考法及应用技巧

孟想成真

1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器。这一发明大大减小了加速器的体积，当然也增加了今天学生们的作业负担。

不过没有关系，小猿老师现在总结了回旋加速器的八种考法，助你轻松解决回旋加速器的题型。


考法1.带电粒子的最大动能


带电粒子在磁场中运动有 qv_nB=m\frac{v^2_n}{r_n} ，所以有 r_n=\frac{mv_n}{qB} 。由此可见，对于确定的带电粒子，在半径为 R 的回旋加速器中，当带电粒子贴着D型盒的边缘射出时粒子的末速度最大，即有 v_m=\frac{qBR}{m} 。此时，粒子的最大动能为 E_{km}=\frac12mv_m^2=\frac{q^2B^2R^2}{2m} 。


考法2.带电粒子在磁场中的时间


由于带电粒子在磁场中做圆周运动，所以其周期为定值 T=\frac{2\pi m}{qB} 。粒子每加速一次就偏转一次，一次偏转的时间为 \frac{T}2 。所以只要知道粒子的加速次数 n ，在磁场中的总时间就为 t_B=n\frac{T}2 。


设电场的电压为 U ，粒子的末速度为 v_m 。粒子每加速一次电场做功 qU ,根据动能定理有 nqU=\frac12mv_m^2 ，解得 n=\frac{mv_m^2}{2qU}=\frac{qB^2R^2}{2mU} ，所以在磁场中的总时间为 t_B=n\frac{T}2=\frac{\pi BR^2}{2U} 。


考法3.带电粒子在电场中的时间


通常情况下狭缝的距离非常小，可忽略。但是如果要计算在粒子在电场中的时间也是可行的。
设狭缝的距离为 d ，则在电场中的加速度 a=\frac{qU}{md} 。由于粒子在磁场中只改变速度的方向，所以粒子在电场中的运动可以看成是匀加速直线运动，所以有 v_m=at_E ，解得 t_E=\frac{BRd}U 。


考法4.带电粒子的速度 v_n


根据带电粒子每加速一次电场做功 nqU=\frac12mv_n^2 ，就可以求出加速 n次的速度 v_n 。根据动能定理有 nqU=\frac12mv_n^2 ，解得 v_n=\sqrt{\frac{2nqU}{m}} 。


考法5.带电粒子的半径 r_n


根据半径关系 r_n=\frac{mv_n}{qB} ,可以求出加速 n 次的轨道半径为 r_n=\frac{\sqrt{2nmqU}}{qB} 。


当然你还可以求出 r_{n+1} 、 r_{n+1}-r_n 、 \frac{r_{n+1}}{r_n} 等。


考法6.轨道间距


根据 rn=\frac{\sqrt{2nmqU}}{qB} 可知 r_{n+1}=\frac{\sqrt{2\left( n+1 \right)mqU}}{qB} ，则 \frac{r_{n+1}}{r_n}=\sqrt{\frac{n+1}{n}} 。由此可见轨道半径的差距越来越小，故轨道间距也越来越小。轨道间距则等于相邻半径差的两倍，如图中 \Delta x=2\left( r_2-r_1 \right) 。因此可以求出任意两个轨道的间距 \Delta x_n 。

7.等效电流


若已知带电粒子从回旋加速器中输出时的平均功率 P 、交流电源的频率 f 、回旋加速器的半径 R 及磁感应强度 B 。则射出带电粒子束的等效电流 I 可以表示为 I=\frac{P}{\pi BR^2f} 。


具体推导如下：
设粒子的质量为 m 、电量和 q ，粒子离开加速器时的速度为 v ，则有 qvB=m\frac{v^2}{R} 。再设在时间 t 内离开加速度的粒子数为 N ，则粒子束在回旋加速器输出时的平均功率也表示为
\displaystyle P=\frac{N\cdot \frac12mv^2}{t} ，另有 f=\frac1T=\frac{qB}{2\pi m} 。综上可得输出时粒子束的等效电流可以表示为 I=\frac{Nq}t=\frac{P}{\pi BR^2f} 。


8.不同粒子加速问题


不同带电粒子在同一回旋加速器中想得到相等的动能，需要采取一定的措施。如回旋加速器加速质子（ ^1_1H ）时，最大动能为 E_{km} 。如果利用同一加速器加速氘核（ ^2_1H ）至相等的动能该怎么操作呢？


设质子的质量为 m ，电量为 q ；氘核的质量为 m' ，电荷量为 q 。则质子的最大动能为 E_{km}=\frac{q^2B^2R^2}{2m} ，氘核的最大动能为 E'_{km}=\frac{q^2B'^2R^2}{2m'} 。由于 E'_{km}=E_{km} ， m'=2m ，则有 B'=\sqrt{2}B 。所以我们需要将磁感应强度增加为原来的 \sqrt{2} 倍。这样就可以了吗？当然不是，别忘了粒子运动的周期哦。若质子的周期为 T=\frac{2\pi m}{qB} ，则氘核的周期 T'=\frac{2\pi m'}{qB'}=\sqrt{2}T 。由于交流电源的周期等于粒子圆周运动的周期，所以我们还需要把电源周期变为原来的 \sqrt{2} 倍。




以上就是回旋加速器常见的八种考法，看完别只是收藏起来，可以找个题练练去！