CT是如何成像的？计算机与数学在透视成像中有何应用？

忠信

（文：刘雪峰）
手机相机是“所见即所得”：

我们看见什么，就照出什么。

但在很多场景中，我们不仅希望所见即所得，我们还希望能“看见”看不见的东西：

把物体内部的结构呈现出来。

例如，

我们想看到人体器官的情况，以判断是否病变；
我们想探测地下是否有石油。

这种技术，称为“透视成像技术”。
实际上，所有这些透视成像技术，背后的原理都非常简单，即：

建立方程组，并解方程组。

CT

X-ray CT全称是X射线计算机断层成像（X-ray Computed Tomography），显然，它用到了X射线。
X射线穿透人体后，会被吸收一部分，而骨骼、肌肉、血液等不同物质，吸收能力是不一样的。
数学上，我们可以用衰减系数来表示这种衰减能力。
那么，我们只要把各个部位的衰减系数求出来，再拼在一起，就可以得到一张CT影像。
怎么实现呢？
我们用下图来说明。

CT原理
我们把待检测的物体分成4个区域，然后，用 x1,x2,x3,x4 来表示这 4 个区域的衰减系数。
我们想得到的就是这四个系数。
然后，我们用从一排能量为10的X射线，从左到右平行照射这4个部位。
X射线穿过第一排后，剩余能量为7；穿过第二排后，剩余能量为3。
这样，我们就得到了两个方程

但这里有4个未知数，因此，我们还需要更多方程。
没错，我们可以再从竖直方向，用X射线照射这个部位：

CT原理
假设，两束X射线的能量分别为6和4，那么，我们又可以得到另外两个方程：

这样，通过解方程，我们就可以得到 x1∼x4 的值了。
根据这个值，我们就可以得到CT影像。
当然，工程实际比上面的过程要复杂，并且是通过拉东变换和反拉东变换得到的。但核心思想就是上述所谓解方程。
MRI 成像

核磁共振技术 (Magnetic Resonance Imaging)是继CT后，医学影像学的又一重大进步。
简单来说，原理是：

人体内大部分都是水，而水富含氢质子。

在外界强磁场中的氢质子，如果受到一个无线脉冲信号的刺激，就会发出电磁波。
电磁波中有一个参数叫弛豫时间，而人体各个组织的弛豫时间是不同的。
也就是说，只要把不同部位的弛豫时间呈现出来，那么，我们就可以“看到”血管、肿瘤等内部情况。
地下石油勘探

透视成像技术另一个典型应用是地下油气勘探：

通过布置在地面的传感器，采集地下震波信号，并从中推测地下岩土密度分布，进而估算油气状况。

这叫地震层析成像(seismic tomography)。 其原理如下图所示：

首先，在待检区域的地面，布置一些振动传感器，它们能侦测振动信号。
而由人工布置或自然产生的地下震源，会产生振动波 (主要是P波)。
这些振动波，经过地下不同路径，到达地面振动传感器。
通过某些信号处理技术，我们可以推算出：

震源的位置，
震源传到每个振动传感器的路径，
地震波从震源到传感器的时间。

然后，为了描绘地下岩土密度分布，地下区域被分成若干格，每个网格我们定义一个变量xi，它是地震波在该网格内的传输速度的倒数。
之所以这么定义，是为了后面计算的方便，因为xi可以直接反映该网格的密度。xi越小，这里的密度越高。
那么，假设，如下图，待测区域是一个被划分成了6个网格的区域：

我们想得到的是x1∼x6。
而对于图(a)，可得一个方程：

s2·x2 + s5·x5 = t1

其中，s2·x2和s5 ·x5就是地震波经过x2区域和x5区域所花费的时间。
而通过传感器，我们已经知道了这个方程中除x2和x5之外的参数。
同样，当该震源发出的地震波被传感器2接收后，我们可以得到另一个方程：

s3·x3 + s6·x6 = t2

当另一个不同位置的震源产生震动信号时，见图(b)，我们可以用类似的方法，找到如下方程：

s1x1 + s4x4 = t1
s3x3 + s5x5 = t2

这里的 s1, s4, s3, s5, t1, t2，都是这次试验的结果。
按照这种方式，采集多组数据之后，联立这些方程，就可以把每小格的x求出来，从而得到地震层析成像。


来源：https://www.toutiao.com/article/682182********31048
免责声明：如果侵犯了您的权益，请联系站长，我们会及时删除侵权内容，谢谢合作！