核磁共振成像笔记（一）
核磁共振成像(Nuclear Magnetic Resonance Imaging)
经典模型(Classical model)
对于一个绕原子核旋转的质量为 m，电量为 q 的电子（如在氢原子中）我们可得其旋转的角动量（angular momentum）为： J ⃗ = m r ⃗ × v ⃗ \vec{J}=m\vec{r}\times\vec{v} J =mr ×v （ r ⃗ \vec{r} r 为电子的位置矢量，从原子核指向电子； v ⃗ \vec{v} v 为电子的速度矢量）
<img alt="qingyuanzi" /> 其产生的磁矩（magnetic momentum）为： μ ⃗ = i δ s ⃗ \vec{\mu}=i\delta\vec{s} μ =iδs ，其中 i = q f = q ⋅ v 2 π r ⇒ ∣ μ ⃗ ∣ = q v 2 π r ⋅ π r 2 i=qf=q\cdot\frac{v}{2\pi r}\Rightarrow|\vec{\mu}|=\frac{qv}{2\pi r}\cdot \pi r^2 i=qf=q⋅2πrv⇒∣μ ∣=2πrqv⋅πr2 。
J ⃗ \vec{J} J 与 μ ⃗ \vec{\mu} μ 是共线（collinear）同向的，因此我们可以得到： μ ⃗ = q 2 m J ⃗ = γ J ⃗ \vec{\mu}=\frac{q}{2m}\vec{J}=\gamma\vec{J} μ =2mqJ =γJ ， γ \gamma γ ：磁旋比（magnetogyric ratio）。
对于氢原子核中的质子（proton），其具有沿自身轴旋转（spin）的固有本性，质子距原子核中心有一定距离。因此质子自旋就相当于正电荷在环形线圈中流动，在其周围会形成一个小磁场，此即核磁。
<img alt="qingyuanzizixuan" /> 与上文所述电子绕原子核旋转同理，质子自旋的角动量矩可记为： I ⃗ \vec{I} I ，则其自旋产生的磁矩即为： μ ⃗ = γ I ⃗ \vec{\mu}=\gamma \vec{I} μ =γI 。
无外加磁场时，质子群中的各个质子任意方向自旋，其磁矩互相抵消，因而单位体积内生物组织的净磁化（net magnetization）为0。如将生物组织置于一个大的外加磁场中（in a constant and uniform magnetic field B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 ），则质子磁矩方向发生变化，结果是较多的质子的磁矩指向与主磁场 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 相同的方向，而较少的质子的磁矩与 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 方向相反（这些质子有较高的位能）。常温下，顺主磁场排列的质子数量较逆主磁场排列的质子稍多，因此，出现与主磁场 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 方向一致的净磁化（下文详述）。
<img alt="cczcj" /> 此时，氢原子核在绕着自身轴旋转的同时，又沿主磁场方向 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 作圆周运动，将质子磁矩的这种运动称之为进动（precession）。
<img alt="cczcj" /> 此时，核子的势能（potential energy）为： E = − μ ⃗ ⋅ B 0 ⃗ E=-\vec{\mu}\cdot \vec{B_0} E=−μ ⋅B0 ，其转矩（torque）为： Γ ⃗ = μ ⃗ × B 0 ⃗ \vec{\Gamma}=\vec{\mu}\times\vec{B_0} Γ =μ ×B0 。根据角动量守恒我们有：
d I ⃗ d t = Γ ⃗ ⇒ d μ ⃗ d t = γ μ ⃗ × B 0 ⃗ \frac{d\vec{I}}{dt}=\vec{\Gamma}\Rightarrow\frac{d\vec{\mu}}{dt}=\gamma\vec{\mu}\times\vec{B_0} dtdI =Γ ⇒dtdμ =γμ ×B0
其中 B 0 ⃗ T = ( 0 , 0 , B 0 ) \vec{B_0}^T=(0,0,B_0) B0 T=(0,0,B0)，则该微分方程的通解为：
μ ⃗ = ( cos ( ω 0 t + φ ) sin ( ω 0 t + φ ) 1 ) \vec{\mu}=\left(\begin{array}{c} \cos(\omega_0t+\varphi)\\ \sin(\omega_0t+\varphi)\\ 1 \end{array} \right) μ =⎝⎛cos(ω0t+φ)sin(ω0t+φ)1⎠⎞
由方程的解我们可以看出在主磁场中，宏观磁矩像单个质子磁矩那样作旋进运动，磁矩进动的角频率（angular frequency）符合拉莫尔方程（Larmor Equation）： ω 0 = − γ B 0 \omega_0=-\gamma B_0 ω0=−γB0 ，旋转的方向为顺时针方向（clockwise direction），对于质子有 γ = 2 π × 42.5774813 \gamma=2\pi\times42.5774813 γ=2π×42.5774813MHz/T。
<img alt="jdpl" /> 量子模型(Quantum Model)*
在强磁场中，原子核发生自旋能级分裂（Zeeman’s effect），当吸收外来电磁辐射（脉冲）时，将发生核自旋能级的跃迁即产生所谓的核磁共振NMR现象。
原子核的自旋角动量的模值可以由该式确定： ∣ I ⃗ ∣ = ℏ I ( I + 1 ) |\vec{I}|=\hbar \sqrt{I(I+1)} ∣I ∣=ℏI(I+1) ，其中 I 为核自旋量子数(quantum number)可以取零，整数或半整数。我们可以测得其自旋角动量的一个分量 I z = ℏ m I_z=\hbar m Iz=ℏm，其中 − I ≤ m ≤ + I -I\leq m \leq +I −I≤m≤+I 。
如前所述，在恒定磁场中自旋磁矩顺磁场强度方向的核处于低能级，而逆方向的则处于高能级。分裂出的能级间隔（energy gap）为： ℏ ω = ℏ γ B 0 \hbar\omega=\hbar\gamma B_0 ℏω=ℏγB0 。
<img alt="njfl" /> 统计规律(Statistics)
根据 Fermi-Boltzmann 概率分布，温度低时电子占据低能级，温度升高，电子获得能量跃迁到高能级。根据量子理论 E = h ν E=h\nu E=hν，且有拉莫尔方程 ω = 2 π ν = γ B 0 \omega=2\pi\nu=\gamma B_0 ω=2πν=γB0，即 E = ℏ γ B 0 E=\hbar\gamma B_0 E=ℏγB0。
<img alt="fbm" /> 当生物组织被置于一个大的静磁场中后，其生物组织中的氢质子顺主磁场方向的处于低能态，而逆主磁场者为高能态。在低能态与高能态之间根据静磁场场强大小与当时的温度，势必要达到动态平衡，称为“热平衡”状态。
在外磁场为 1T 时： ℏ γ B 0 ≈ 0.17 μ \hbar\gamma B_0\approx0.17\mu ℏγB0≈0.17μeV，且在室温 300K 时有： k T = 26 kT=26 kT=26meV ⇒ \Rightarrow ⇒ k T ≫ ℏ γ B 0 kT\gg\hbar\gamma B_0 kT≫ℏγB0，高能级和低能级的粒子填充情况类似。
N ⊕ N ⊖ = exp ( − E k T ) = exp ( − ℏ γ B 0 k T ) ≈ 1 − ℏ γ B 0 k T \frac{N_{\oplus}}{N_{\ominus}}=\exp(-\frac{E}{kT})=\exp(-\frac{\hbar\gamma B_0}{kT})\approx1-\frac{\hbar\gamma B_0}{kT} N⊖N⊕=exp(−kTE)=exp(−kTℏγB0)≈1−kTℏγB0
N ⊕ ≈ N ⊖ ≈ N / 2 N_{\oplus}\approx N_{\ominus}\approx N/2 N⊕≈N⊖≈N/2
由此我们可以得到：
N ⊖ − N ⊕ ≈ N × ℏ γ B 0 k T N_{\ominus}-N_{\oplus}\approx N\times\frac{\hbar\gamma B_0}{kT} N⊖−N⊕≈N×kTℏγB0
上式中 N ⊕ N_{\oplus} N⊕ 和 N ⊖ N_{\ominus} N⊖ 分别表示在静磁场中处于高能级和低能级的原子核的密度。
对于每个原子核的自旋对宏观磁化的贡献：对于单个原子核 μ ⃗ = γ I ⃗ \vec{\mu}=\gamma\vec{I} μ =γI ，在宏观上则有 μ N = ℏ γ I = ± 1 2 ℏ γ \mu_N=\hbar\gamma I=\pm\frac{1}{2}\hbar\gamma μN=ℏγI=±21ℏγ。如对于水 H2O 其摩尔质量(Molecular mass)为 18 g/mol，则其质子密度为：
N = 2 ρ N A 18 g / m o l N=\frac{2\rho N_A}{18g/mol} N=18g/mol2ρNA
当其处于 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 的静磁场中时，其宏观净磁化密度(magnetization density)为：
M ⃗ = 2 ρ N A 18 g / m o l ⋅ ℏ γ B 0 ⃗ k T ⋅ ℏ γ 2 \vec{M}=\frac{2\rho N_A}{18g/mol}\cdot\frac{\hbar\gamma\vec{B_0}}{kT}\cdot\frac{\hbar\gamma}{2} M =18g/mol2ρNA⋅kTℏγB0 ⋅2ℏγ
射频激发(RF Excitation)
热平衡状态中的氢质子，被施以方向与静磁场垂直，频率与质子群的旋进频率一致的射频脉冲(RF pulse)时，将破坏原来的热平衡状态，从微观上讲，将诱发两种能态间的质子产生能态跃迁，被激励的质子从低能态跃迁到高能态，出现核磁共振。从宏观上讲，受到射频脉冲激励的质子群偏离原来的平衡状态而发生变化，其变化到达的位置度取决于所施加射频脉冲的强度和时间。
总磁场可以写为： B ⃗ = B 0 ⃗ + B 1 ⃗ exp ( j ω t ) \vec{B}=\vec{B_0}+\vec{B_1}\exp(j\omega t) B =B0 +B1 exp(jωt)，其中 B 0 ⃗ ⊥ B 1 ⃗ \vec{B_0}\perp\vec{B_1} B0 ⊥B1 ， B 1 ⃗ \vec{B_1} B1 即为施加的射频脉冲。根据角动量守恒可以写出方程：
d M ⃗ d t = γ M ⃗ × B ⃗ \frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\vec{B} dtdM =γM ×B
为了产生共振(resonance) B 1 ⃗ \vec{B_1} B1 中 ω = ω 0 = − γ B 0 \omega=\omega_0=-\gamma B_0 ω=ω0=−γB0：
B ⃗ = ( − B 1 sin ( ω 0 t ) B 1 cos ( ω 0 t ) B 0 ) \vec{B}=\left(\begin{array}{c} -B_1\sin(\omega_0t)\\ B_1\cos(\omega_0t)\\ B_0 \end{array} \right) B =⎝⎛−B1sin(ω0t)B1cos(ω0t)B0⎠⎞
解得方程的解：
M ⃗ = M ⋅ ( cos ( ω 0 t ) sin ( ω 1 t ) sin ( ω 0 t ) sin ( ω 1 t ) cos ( ω 1 t ) ) \vec{M}=M\cdot\left(\begin{array}{c} \cos(\omega_0t)\sin(\omega_1 t)\\ \sin(\omega_0t)\sin(\omega_1 t)\\ \cos(\omega_1 t) \end{array} \right) M =M⋅⎝⎛cos(ω0t)sin(ω1t)sin(ω0t)sin(ω1t)cos(ω1t)⎠⎞
其中 ω 1 = − γ B 1 \omega_1=-\gamma B_1 ω1=−γB1。
- 如果 B1 的值大，脉冲的持续时间 T 短对于给定的自旋则可获得大带宽（频谱宽）的射频激发。
- 如果 B1 的值小，脉冲的持续时间 T 长对于给定的自旋可以获得更精确的射频激发（射频信号的频谱更窄）。
施加的射频脉冲越强，持续时间越长，在射频脉冲停止时， M ⃗ \vec{M} M 离开其平衡状态 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 越远。在MRI技术中使用较多的是90°、180°射频脉冲。施加90°脉冲时，宏观磁化矢量 M ⃗ \vec{M} M 以螺旋运动的形式离开其原来的平衡状态，脉冲停止时， M ⃗ \vec{M} M 垂直于主磁场 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 。
<img alt="jf" /> 核磁共振基础(Basics of NMR)
<img alt="jf" /> 磁共振信号的测量只能在垂直于主磁场的XY平面进行。由于脉冲发射和接收生物组织原子核的共振信号不在同一时间，而射频脉冲和生物组织发生的共振信号的频率又是一致的，因此,可用一个线圈兼作发射和接收。
脉冲停止后，宏观磁化矢量又自发地回复到平衡状态，这个过程称之为“核磁弛豫”(relaxation)。当90 °脉冲停止后， M ⃗ \vec{M} M 仍围绕 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 轴旋转， M ⃗ \vec{M} M 末端螺旋上升逐渐靠向 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0
<img alt="yc" /> 由于在弛豫过程中磁化矢量 M ⃗ \vec{M} M 强度并不恒定，纵、横向部分必须分开讨论。弛豫过程用2个时间值描述，即纵向弛豫时间(T1)和横向弛豫时间(T2)。
自旋-晶格弛豫(T1: spin-lattice relaxation)
90°脉冲停止后，纵向磁化矢量要逐渐恢复到平衡状态，测量时间距射频脉冲终止的时间越长，所测得磁化矢量信号幅度就越大。弛豫过程表现为一种指数曲线，T1 值规定为 Mz 达到最终平衡状态( M z ( t = ∞ ) M_z(t=\infty) Mz(t=∞))63%的时间。
<img alt="t1" /> T1进一步的物理意义的理解，只有从微观的角度分析。由于质子从射频波吸收能量，处于高能态的质子数目增加，T1 弛豫是质子群通过释放已吸收的能量，以恢复原来高低能态平衡的过程，T1 弛豫也称为自旋－晶格弛豫。
该弛豫对应的 Bloch 方程为：
d M z d t = − M z ( t ) − M z ( t = ∞ ) T 1 \frac{dM_z}{dt}=-\frac{M_z(t)-M_z(t=\infty)}{T_1} dtdMz=−T1Mz(t)−Mz(t=∞)
解得： M z ( t ) = M z ( ∞ ) + ( M z ( 0 ) − M z ( ∞ ) ) exp ( − t / T 1 ) M_z(t)=M_z(\infty)+(M_z(0)-M_z(\infty))\exp(-t/T_1) Mz(t)=Mz(∞)+(Mz(0)−Mz(∞))exp(−t/T1)。T1 的大小取决于生物组织的组成和 B0 。
自旋-自旋弛豫(T2: spin-spin relaxation)
90°脉冲的一个作用是激励质子群使之在同一方位，同步旋进（相位一致 in phase），这时横向磁化矢量 M x y M_{xy} Mxy 值最大，但射频脉冲停止后，质子同步旋进很快变为异步，旋转方位也由同而异，相位由聚合一致变为丧失聚合而各异(decoherence)，磁化矢量相互抵消， M x y M_{xy} Mxy 很快由大变小,最后趋向于零，称之为去相位(out of phase)。横向磁化矢量衰减也表现为一种指数曲线，T2 值规定为横向磁化矢量衰减到其原来值37%所用的时间。
<img alt="qxw" /> <img alt="qxw" /> 与该弛豫对应的 Bloch 函数为：
M x y d t = − M x y ( t ) T 2 \frac{M_{xy}}{dt}=-\frac{M_{xy}(t)}{T_2} dtMxy=−T2Mxy(t)
该方程的解为： M x y ( t ) = M x y ( 0 ) exp ( − t / T 2 ) M_{xy}(t)=M_{xy}(0)\exp(-t/T_2) Mxy(t)=Mxy(0)exp(−t/T2) 。
横向磁化矢量由大变小直至消失的原因是：组织中水分子的热运动持续产生磁场的小波动,周围磁环境的任何波动可造成质子共振频率的改变，使质子振动稍快或稍慢，使质子群由相位一致变为互异，即质子热运动的作用使质子间的旋进方位和频率互异，但无能量交换。
当静磁场分布不均匀(not uniform)时，T2 要多加一个时常数为 TB 的指数衰减因子，即：
M x y ∝ exp ( − t T 2 ) × exp ( − t T B ) M_{xy}\propto \exp(-\frac{t}{T_2})\times\exp(-\frac{t}{T_B}) Mxy∝exp(−T2t)×exp(−TBt)
M x y ∝ exp ( − t ( 1 T 2 + 1 T B ) ) = exp ( − t T 2 ⋆ ) M_{xy}\propto\exp(-t(\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_B}))=\exp(-\frac{t}{T_2^{\star}}) Mxy∝exp(−t(T21+TB1))=exp(−T2⋆t)
其中 T 2 ⋆ < T 2 T_2^{\star}<T_2 T2⋆<T2。
自由感应衰减(Free Inducation Decay)
90°脉冲后，由于受T1、T2 的影响，接收到的磁共振信号以指数曲线形式衰减，称为自由感应衰减(FID)。
M x y ∝ exp ( j ω 0 t ) exp ( − t / T 2 ⋆ ) M_{xy}\propto\exp(j\omega_0 t)\exp(-t/T_2^{\star}) Mxy∝exp(jω0t)exp(−t/T2⋆)
<img alt="fid" />
系统的频率响应会有 Lorentzian shape：
T 2 ⋆ 1 + ( ω − ω 0 ) 2 T 2 ⋆ 2 − j ( ω − ω 0 ) T 2 ⋆ 2 1 + ( ω − ω 0 ) 2 T 2 ⋆ 2 \frac{T_2^{\star}}{1+(\omega-\omega_0)^2T_2^{\star 2}}-\frac{j(\omega-\omega_0)T_2^{\star 2}}{1+(\omega-\omega_0)^2T_2^{\star 2}} 1+(ω−ω0)2T2⋆2T2⋆−1+(ω−ω0)2T2⋆2j(ω−ω0)T2⋆2
<img alt="fid" />
在振幅中心测得其带宽为： Δ ω 0 = 2 / T 2 ⋆ \Delta\omega_0=2/T_2^{\star} Δω0=2/T2⋆ 。
自旋回波(Spin Echo)
自旋回波序列为现今 MR 扫描最基本、最常用的脉冲序列，先发射1个90°射频脉冲，90°脉冲停止后，开始出现磁共振信号，间隔 Δ T \Delta T ΔT 时间后，再发射1个180°脉冲至测量回波的时间称作回波时间，用 T E T_E TE 表示（ T E = 2 Δ T T_E=2\Delta T TE=2ΔT），180°脉冲至下一个90°脉冲之间的时间为 T ′ T^{\prime} T′，重复这一过程，2个90°脉冲 之间的时间称为重复时间，用 T R T_R TR 表示。
<img alt="se" /> <img alt="sep" /> 加权像(weighted image)
自旋回波脉冲序列中的影像亮度、回波幅度不仅与受检组织的特殊参数即 T1、T2和质子密度有关，而且与操作者选择的参数 TR、TE 有关。人体不同组织不论它们是正常的还是异常的，有它们的各自的T1、T2以及质子密度值，这是 MRI 区分正常与异常以及诊断疾病的基础。
- 质子密度 ρ \rho ρ 加权像 如选用比受检组织T1显著长的TR（1500～2500ms），那么磁化的质子群在下1个周期的90°脉冲到来时已全部得到恢复，这时回波信号幅度与组织 T1 无关，而与组织的质子密度和 T2 有关。再选用比受检组织 T2 明显短的 TE（15～20ms），则回波信号幅度与质子密度（即受检组织氢原子数量）有关，这种影像被称为质子密度加权像。由于多数生物组织质子数量相差不大。信号强度主 要由 T2 决定，有些文献中也将质子密度加权像称作轻度 T2 加权像。
- T2 加权像，如选择比受检组织 T1 显著长的 TR（1500～2500ｍｓ），又选用与生物组织 T2 相似的时间为 TE（90～120ms） ，则两个不同组织的 T2 信号强度差别明显，TE 越长，这种差别越明显。
<img alt="t2w" />
- T1 加权像，因各种生物组织的纵向弛豫时间约500ｍｓ左右，如把 TR 定为500ｍｓ，则在下1个周期90°脉冲到来时，长 T1 的组织能量丢失少，纵向磁化矢量（MZ）恢复的幅度低，吸收的能量就少，其磁共振信号的幅度低。
<img alt="t1w" /> 梯度磁场(gradient field)
**选层梯度场 GX **
以横轴位（Z）断层为例，于主磁场 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 再附加一个梯度磁场 G ⃗ = ( 0 , 0 , G z ) \vec{G}=(0,0,G_z) G =(0,0,Gz)，则总的磁感应强度为 B 0 ⃗ ( x ) = ( B 0 + G ⃗ ⋅ x ⃗ ) e z ⃗ \vec{B_0}(x)=(B_0+\vec{G}\cdot\vec{x})\vec{e_z} B0 (x)=(B0+G ⋅x )ez ，即沿Ｚ轴方向自左到右磁感应强度不同，根据拉莫尔定律，被检者质子群在纵轴平面上（垂直于Z轴）被分割成一个个横向断面，且质子群有相同的旋进频率，如以这个频率的90°脉冲激励，就可在人体纵轴上选出横轴层面。
**选层梯度场 GX **
以横轴位（Z）断层为例，于主磁场 B 0 ⃗ \vec{B_0} B0 再附加一个梯度磁场 G ⃗ = ( 0 , 0 , G z ) \vec{G}=(0,0,G_z) G =(0,0,Gz)，则总的磁感应强度为 B 0 ⃗ ( x ) = ( B 0 + G ⃗ ⋅ x ⃗ ) e z ⃗ \vec{B_0}(x)=(B_0+\vec{G}\cdot\vec{x})\vec{e_z} B0 (x)=(B0+G ⋅x )ez ，即沿Ｚ轴方向自左到右磁感应强度不同，根据拉莫尔定律，被检者质子群在纵轴平面上（垂直于Z轴）被分割成一个个横向断面，且质子群有相同的旋进频率，如以这个频率的90°脉冲激励，就可在人体纵轴上选出横轴层面。
<img alt="t1w" />
来源：https://blog.csdn.net/qq_34585625/article/details/105021626
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雷达卡
发表于 2022-9-25 05:25:48
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